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Clifford代数

和Clifford代数联系紧密的是四元数 [公式] ,它是 [公式] 上的4维线性空间,在四元数的乘法下成为代数。取一组基 [公式] ,那么四元数的乘法按 [公式] 定义。四元数和 [公式] 群有紧密联系。通常,由Pauli矩阵 [公式] , [公式] 和 [公式] ,可以取 [公式] 为Lie代数 [公式] 的一组基。从而 [公式] 中的元素都可以写成 [公式] ,其中 [公式] , [公式] , [公式] 且 [公式] 。易验证 [公式] 是单位阵。应用指数映射, [公式] 的单参数子群为 [公式] ,由于矩阵Lie群可以展开为Taylor级数,所以有 [公式] ,从而 [公式] 的矩阵均形如 [公式] ,其中 [公式] , [公式] 。易看出 [公式] ,所以实际上这四个参数构成了球面 [公式] ,即 [公式] 。四元数有忠实表示 [公式] 。令 [公式] ,[公式] ,那么四元数 [公式] 表示为 [公式] 。

令 [公式] 是代数,不妨将其上的二元运算看成乘法。称子代数 [公式] 是左理想,若 [公式] 和 [公式] 使得 [公式] 。若是右理想,则 [公式] 。若同时是左理想和右理想,则称它是双边理想。显然,交换环上定义的交换代数本身就是交换环,所以在给定双边理想后,可以按环论中的做法,引入商环。给定交换环上的环 [公式] 和其双边理想 [公式] ,定义等价关系 [公式] 若 [公式] 。这样可以直接记等价类为 [公式] 。所有等价类的集合再次构成环,其加法按 [公式] 定义,乘法按 [公式] 定义。称这个环是商环,记作 [公式] 。若 [公式] 是代数,那么是交换环,并且商环 [公式] 也是交换环,进而是代数。称代数 [公式] 是因子代数。我们要指出,外代数实际上就是张量代数的因子代数。对于有限维线性空间 [公式] ,令 [公式] 是只有下标的张量代数, [公式] 是所有形如 [公式] 的和构成的双边理想,其中 [公式] , [公式] 。容易验证 [公式] 是双边理想,并且 [公式] 。为了说明这一点,注意到商环的定义,它实际上是让理想消灭了,那么我们理应让对称形式消灭,只留下交错形式。据定义,取 [公式] ,那么 [公式] ,从而 [公式] 。对于 [公式] ,有 [公式] ,若其中两个分量相同,则 [公式] ,这就表明确实只剩下了交错形式。注意到,虽然代数 [公式] 和理想 [公式] 都是无穷维的,但因子代数却是有限维的。

 

现在令 [公式] 是实有限维线性空间, [公式] 是 [公式] 上的对称双线性型。一般,我们要求 [公式] 非退化,从而 [公式] 是度规,也就定义了 [公式] 上的内积 [公式] 。令 [公式] 是所有形如 [公式] 的和构成的 [公式] 的双边理想, [公式] ,那么因子代数 [公式] 是有限维的。取一组基 [公式] ,令 [公式] ,易看出因子代数满足 [公式] ,若域的特征不是2(我们讨论的是 [公式] 是 [公式] 上的,所以显然),那么还有 [公式] 。称 [公式] 是实Clifford代数,为了简洁,一般直接记 [公式] 。这里假设了 [公式] 是 [公式] 上的线性空间。对于一般的域 [公式] 上的线性空间 [公式] ,不存在内积的概念,所以我们用二次型 [公式] 来替代, [公式] 是二次型的极化,可用作 [公式] 的定义,当 [公式] 时易验证这个 [公式] 是内积。此时Clifford代数记作 [公式] ,具有性质 [公式] 或 [公式] 。下面均以 [公式] 和 [公式] 来暗示线性空间的域是否为实数。

令 [公式] 是全体形如 [公式] 构成的子代数,其中 [公式] ,那么 [公式] ,其中 [公式] 。从而和外代数一样,Clifford代数也是 [公式] 维的。除此之外,和外代数一样, [公式] , [公式] 。甚至,我们可以证明,作为线性空间,Clifford代数与外代数同构(但作为代数,没有这个同构)。

由于理想 [公式] 的特性, [公式] 不能是 [公式] 分次代数,也就是说 [公式] 不一定成立。例如, [公式] ,但 [公式] 。相对的, [公式] 是 [公式] 分次的, [公式] ,其中 [公式] 是偶部分, [公式] 是奇部分。 [公式] 分次说明 [公式] , [公式] 同时 [公式] 。

具有重要地位的Clifford代数是 [公式] 给出的 [公式] ,其中 [公式] 。下面简记为 [公式] 。首先 [公式] 。第一个非平凡的例子是 [公式] 。取 [公式] 的基为 [公式] ,那么 [公式] 中所有元素都形如 [公式] ,其中 [公式] 。据定义, [公式] ,那么不言而喻 [公式] 。完全类似地,对于 [公式] ,取 [公式] 的基为 [公式] ,那么 [公式] 中所有元素都形如 [公式] 。据定义, [公式] , [公式] ,若令 [公式] ,那么上三式就是四元数的乘法定义式,从而 [公式] 。剩下的三个 [公式] 的特殊情况分别是 [公式] , [公式] , [公式] ,其中 [公式] 表示以实数为矩阵元的n阶方阵。在下面还用到 [公式] 和 [公式] 。

定理 [公式] , [公式] , [公式] 。

定理给了我们从低阶慢慢搭建高阶Clifford代数的方法。相比于张量积,直和更便于理解。例如, [公式] , [公式] , [公式] , [公式] , [公式] , [公式] 等。后面这三个与 [公式] 相关的关系是重要的,因为重复应用上面的定理,就得到:

命题 [公式] , [公式] 。

其中 [公式] 。我们讨论的这些张量积都是实张量积 [公式] 。据命题,在更高阶的时候, [公式] 只与 [公式] 有关。这个周期8与正交群的同伦群的Bott周期密切相关。下表给出了所有低阶的Clifford代数 [公式] ,

图片来源 : Spin Geometry , Lawson

所有更高阶的 [公式] 都可由此得出。

旋量群

介绍旋量群之前,首先引入双叶覆盖的概念。称纤维丛 [公式] 的全空间 [公式] 是基空间 [公式] 的覆盖空间,若纤维 [公式] 是某个离散集。这相当于说任意 [公式] ,存在某个邻域 [公式] ,使得 [公式] 是一些非交开集 [公式] 的并 [公式] ,并且 [公式] 。称 [公式] 是叶(sheet)。若任意 [公式] 都只有n叶,即 [公式] ,则称这是n叶覆盖,其纤维与 [公式] 同构。若 [公式] 是连通的并且是简单连通的,那么称这是万有覆盖。一个很奇特的性质是,若 [公式] 是Lie群的Lie群覆盖, [公式] 是Lie群同态,那么 [公式] 。我们必须指出,一个最重要的例子是, [公式] 是 [公式] 的万有双叶覆盖。通常,取 [公式] , [公式] 和 [公式] 为 [公式] 的一组基,从而 [公式] 的矩阵能写成 [公式] 的形式,其中 [公式] , [公式] ,单参数子群为 [公式] 。和 [公式] 一样,展开成Taylor级数得 [公式] ,或用左群作用 [公式] 来表示,是 [公式] ,其中 [公式] 。实际上单参数子群 [公式] 就是以 [公式] 为转轴,把 [公式] 匀角速度转动 [公式] 角,即角速度为 [公式] 。覆盖映射可以简单地 [公式] ,为了写出显式,使用左群作用 [公式] ,那么 [公式] ,其中 [公式] , [公式] 满足 [公式] ,而 [公式] ,其中 [公式] 是 [公式] 的复共轭转置。取 [公式] ,那么直接算得 [公式] ,从而 [公式] 的核 [公式] ,所以根据群同态基本定理,得 [公式] 。至于 [公式] 是万有覆盖,根据 [公式] 就有。

一般环 [公式] 的乘法只是幺半群。称 [公式] 是 [公式] 的可逆元群,即所有关于 [公式] 的乘法可逆的元素构成的群。考虑Clifford代数的可逆元群 [公式] ,它有子群 [公式] ,是这些乘积构成的群,并且额外要求 [公式] ,从而 [公式] 的逆元是 [公式] ,正负号取决于所有的 [公式] 。定义 [公式] 是Pin群中长度为偶数的乘积构成的子群。

对于有限维的 [公式] ,可以定义正交群 [公式] ,即 [公式] 。当 [公式] 且 [公式] 时, [公式] 是普通的正交群。当 [公式] 但 [公式] 是伪欧度规,此时记 [公式] 。对应的有特殊正交群 [公式] 和 [公式] 。我们要指出, [公式] 是 [公式] 的双叶覆盖, [公式] 是 [公式] 的双叶覆盖。证明的关键是利用扭共轭表示(twisted adjoint representation)。下面给出更一般的结论。

若 [公式] 三个群使得 [公式] 是正合列,那么 [公式] 是 [公式] 的正规子群,且商群 [公式] 与 [公式] 同构。此时称 [公式] 是 [公式] 的扩张。称子群 [公式] 是 [公式] 的中心,若 [公式] 和 [公式] 使 [公式] 。称扩张 [公式] 是中心扩张若 [公式] 。

定理 若 [公式] 的域是 [公式] ,那么 [公式] 时;若 [公式] 的域是 [公式] ,那么 [公式] 时, [公式] 和 [公式] 是中心扩张。

可以证明Spin群和Pin群都是Lie群,从而 [公式] 就给出双叶覆盖 [公式] 和 [公式] 。当 [公式] 时 [公式] 是简单连通的,从而是万有覆盖。

旋量的表示

有必要解释一下为什么要在物理中引入Clifford代数。量子力学的基础是Schrödinger方程 [公式] 。考虑自由粒子, [公式] , [公式] 。Schrödinger方程不是相对论性的。为了使它成为相对论性方程,引入狭义相对论的能量与动量的关系 [公式] ,把此式直接量子化,即把 [公式] 换成 [公式] , [公式] 换成 [公式] ,那么 [公式] ,化简得 [公式] ,其中 [公式] 是d’Alembert算子。称 [公式] 是Klein-Gordon方程,这里用了自然单位制,此时 [公式] 。KG方程的一个最显著问题是它导致流密度 [公式] 不是正定的,从而粒子出现的概率可以是负的。这与量子力学的基本假设相悖。本质原因是,KG方程含时间的二阶偏导,我们必须要使方程仅含时间的一阶偏导。Dirac的想法很简单,令 [公式] 是两个时间一阶偏导算子的复合,那么若 [公式] ,则必有 [公式] ,从而 [公式] 是KG方程的解。不妨令 [公式] , [公式] ,其中 [公式] , [公式] 。设 [公式] ,其中 [公式] 是未知系数。令 [公式] ,称 [公式] 是Dirac方程。然而事实上 [公式] 不可能是数,因为显然 [公式] ,这就说明 [公式] 与Clifford代数有关。

给定 [公式] 的基 [公式] 后,Clifford代数的表示 [公式] 有性质 [公式] ,因为是 [公式] 同态。从而整个 [公式] 上的表示可以归结为 [公式] 的表示。称 [公式] 是 [公式] 矩阵,若 [公式] 是n维,那么就有n个 [公式] 矩阵。在物理中重要的是 [公式] 的表示,尤其是Minkowski空间上的Clifford代数 [公式] 。根据第一节中的表,可知 [公式] 或 [公式] 时 [公式] 。称 [公式] 时的表示 [公式] 是Majorana表示。反过来,若 [公式] 即 [公式] 时,有纯复数的表示。典型的例子是Minkowski空间上的Clifford代数。

CSDN的一个资料

本段来源于:(13条消息) 旋量初识_ColaInLibrary的博客-CSDN博客

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