辛流形 – 维基百科,自由的百科全书 (wikipedia.org)

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数学上,一个辛流形是一个装备了一个、非退化2-形式ω的光滑流形,ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛拓扑。辛流形作为经典力学分析力学的抽象表述中的流形的余切丛自然的出现,例如在经典力学的哈密顿表述中,该领域的一个主要原因之一:一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模,而该流形的余切丛描述了该系统的相空间
一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场;该哈密顿向量场的积分曲线哈密顿-雅可比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场,称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理,哈密顿流保持相空间的体积形式不变。
具有某种特殊结构的微分流形,这种结构称为辛结构。设M为一微分流形,又在M上具有一个二次非退化的闭外微分形式σ,则称σ是M上的一个辛结构,又称M为具辛结构σ的辛流形。微分流形的辛结构联系于向量空间的辛结构。设V是m维向量空间,在V上定义了一个反对称、非退化的双线性形式σ,即σ满足:①反对称性,σ(α,β)=-σ(β,α),对任意α,β∈V成立;②非退化,若对任意β∈V,有σ(α,β)=0,必有α=0,则称σ为向量空间V上的一个辛结构,又称V 为具辛结构σ的辛向量空间。对于具辛结构σ的微分流形M,在每一点x∈M,将σ(x)视为TxM上的双线性形式,即得出向量空间TxM上的辛结构。具辛结构的向量空间 V或具辛结构的微分流形M都必须是偶数维的。
辛流形总是自带一个辛结构ω,其外积构成辛流形的辛形式,它是处处非零的。一般而言,辛流形的辛形式只是光滑的,只能保证辛流形的可定向的,必须要全纯辛形式才一定保证能够有复定向,这样的辛流形被称为全纯辛流形。全纯辛流形是否一定存在呢?答案是肯定的,在Berger的分类中,完整群为Sp(m)的hyperkahler manifold就是全纯辛流形,因此一定是复可定向的。
对于全纯辛流形而言,就连复定向也变成平庸的了,似乎还要考虑更高层次的辛定向,定义为存在处处非零的辛体积形式,使得四元数射影空间具有与复射影空间或实射影空间类似的定向。

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