一维波动方程可用如下的方式推导:一列质量为m的小质点,相邻质点间用长度h的弹簧连接。弹簧的弹性系数(又称“倔强系数”)为k

Array of masses.svg

其中u(x) 表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于x+h 处的质点m 上的力为:

F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}
F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]

其中F_{Newton}代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力F_{Hooke}代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。所以根据分析力学中的达朗贝尔原理,位于x+h 处质点的运动方程为:

m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]

式中已注明u(x) 是时间t 的显函数

N 个质点间隔均匀地固定在长度L = N h 的弹簧链上,总质量M = N m,链的总体劲度系数K = k/N,我们可以将上面的方程写为:

{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}

取极限 N \rightarrow \infty h\rightarrow 0 就得到这个系统的波动方程:

 {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }

在这个例子中,波速c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}

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