我们学习微分的时候,是通过极限的概念来讲的。也就是说,当\(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \)的\(\Delta x\)取值为无穷小时,刚才的比值就被定义为微分。

那么我们想一下,假如\(\Delta x\)取值不能无穷小,而最小只能取某一个有限值\(\eta\),则这种比值也能成立,但不是我们所说的微分了,可以叫做有限微分。如果这样定义有限微分,与一般的微分有什么不同呢?首先按照常规的做法,此时,我们有\(x_{2}=x_{1}+\eta\),微分的定义为

\[\frac{ df(x) }{ dx }=\frac{ f(x_{2} )-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=\frac{ f(x_{2}) – f(x_{1} )}{\eta}\]

因此,对于不同的函数,按照这种定义,我们计算出它的有限微分结果,然后与一般的微分结果进行比较。比如对于函数\(y=x^{2}\),有

对于一般结果:

\[y’=2x\]

对于有限微分结果:

\[y’=\frac{(x_{2})^{2}-(x_{1})^{2}}{\eta}=\frac{(x_{1}+\eta)^{2}-(x_{1})^{2}}{\eta}=\frac{(x_{1})^{2}+2x_{1}\eta+\eta^{2}-(x_{1})^{2}}{\eta}\]

\[=\frac{2x_{1}\eta+\eta^{2}}{\eta}=2x_{1}+\eta\]

与一般结果相比较,里面的\(x\)被\(x_{1}\)代替,然后加上了\(\eta\)。如果\(\eta\)为0,则回归到一般结果上。

突然感到这个很像微分几何中的联络。联络要求的就是这种平移。但是在数学上,我们认为平移是无穷小的,是无限光滑的。如果在讨论的时候不考虑无穷小这一要求,转而考虑有某一个微小有限量存在,也许联络公式会有所变化呢?

由此,我们可以猜想。当大自然是无穷小的,那么原子会稳定吗?大自然会稳定吗?可否通过因为大自然是稳定的,反推回去最小值\(\eta\)是多少?也许就是普朗克尺度\(l_{p}\)呢?

对于圈量子引力来说,他的做法是不是和这个想法类似呢?我觉得弦理论一定会是错误的,尽管某些观念它很对,但是做法很错误,走入了错误的道路,结果它越走越复杂。无论如何,无穷小是不存在的,取而代之的是有限值。

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