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描述引力波的理论与描述电动力学的电磁波的理论是类似的。

以下内容摘录自维基百科:引力波 – 维基百科,自由的百科全书 (wikipedia.org)

阅读本节需要了解电动力学广义相对论的基本概念,可直接参阅有关书籍[120][121][122][4][123]

线性爱因斯坦方程

引力波——时空的波纹(示意图)

广义相对论预言下的引力波是以波形式传播的时空扰动,被形象地称为“时空涟漪”[124]。广义相对论下的弱引力场可写作对平直时空的线性微扰:(以下采用自然单位引力常数G光速c都设为1)[4]:189-194

,其中

这里是平直时空的闵可夫斯基度规是弱引力场带来的微扰。在这个度规下计算得到的黎曼张量

爱因斯坦张量

这里被称作迹反转度规微扰(trace-reverse metric perturbation)。

如果采用洛伦茨规范,爱因斯坦张量的后三项将为零,这里洛伦茨规范的形式为

事实上总可以选择这样的规范条件,并且洛伦茨规范不是唯一的,意味着坐标在一个无穷小的线性坐标变换下仍满足洛伦茨规范,关于这一点请参考有关规范变换的内容。

在洛伦茨规范下,爱因斯坦张量为

代入爱因斯坦引力场方程

这个方程又叫弱引力场中的线性爱因斯坦方程。在远源()的情形下,得到带有达朗贝尔算符的四维波方程:

引力波的传播

上面波方程的一般解为如下本征函数线性叠加[4]:203-206

其中是四维振幅是四维波矢,满足条件

,这表明引力波传播经过的测地线是零性的,即其传播速度是光速

四维波矢,其中是波的角频率是经典的三维波矢。由于洛伦茨规范并不唯一,此时坐标还不是完全确定的。如果再加上条件:

第一个条件表示引力波张量中所有与时间t有关的分量都为零,第二个条件表示引力波张量矩阵的为零。因此这组规范条件叫做横向无迹规范(transverse traceless gauge),简称TT规范。在TT规范下,。 由洛伦茨规范和TT规范共同决定下的引力波张量只有两个分量是独立的,它们实际对应着引力波的两种偏振态。对于在z方向传播的波矢,这两个振动分量垂直于传播方向,这表明引力波和电磁波一样是横波,其张量形式写作

其中分别为引力波的“十字型”和“交叉型”两种偏振态,上文引力波通过时的效应一节的两幅动画示意了两种偏振各自不同的振动形式。

引力波的辐射

有源的线性爱因斯坦方程解释了波源的运动如何产生引力辐射:

类似用泊松方程求解牛顿引力势,运用格林函数可得到带有推迟势的一般解:[4]:233-234[121]:300-307[39]:第4.1.1节

这里所处在的时间是,表示引力波从源点传播到场点经过了时间为的延迟。

在远场近似和长波极限下,格林函数解近似为

其中标量是源点到场点的距离。

相对论中波源的质能守恒动量守恒合起来写作

因此动量-能量张量中的质量-能量密度)和其他所有和时间t有关的分量(动量密度)对时间的偏导数都为零,代入后方程的解可进一步化简为

这即是引力辐射的四极矩近似公式,描述了一个弱相对论系统引力辐射的最基本情形。其中描述了波源的质量-能量分布

这里张量即是系统的质量四极矩(转动惯量张量),而是波源的质量-能量密度,积分范围是整个波源内部。

四极矩公式的物理意义是引力辐射起始于随时间二阶变化(例如谐振)的四极矩,这一点与电磁辐射不同:电磁辐射起始于随时间二阶变化的偶极矩。这一区别的来源是:一个随时间二阶变化的电偶极矩或磁偶极矩对应着电荷密度中心的振动,这一振动是随意不受限制的;而一个随时间二阶变化的质量的偶极矩对应着质心的振动,这一振动不能满足动量守恒定律,因此不存在这样对时间二阶偏导不为零的质量偶极矩。由于四极矩是偶极矩的更高阶项,这也是引力辐射要远弱于电磁辐射的原因。[125]:第1.2.1节

引力波的能量

四极矩近似下引力波的光度(总辐射功率)为[4]:239-240

 

这里Q是张量矩阵的迹。 引力波的能量通量(单位面积的辐射功率)近似为

这里f是单色引力波的频率。

思考一个地面探测器可以感测到的微弱辐射暴,其频率为1000赫兹,到达地球时的引力强度为10-22的引力波,则其能量通量约为,这相当于满月时地球从月球接收到的电磁辐射能量通量的两倍,大约有1ms之久,这引力波源是夜间天空最亮的星体。这表明引力波实际可以携带很大的能量,但与物质相互作用力非常小,这才是引力波难以被探测的根本原因。[40]:第2.3节

 

 

主要的暗能量的候选者如下:

  • 宇宙学常数,\(\Lambda\)
  • Quintessence,物态方程的参数 \(\omega\) 在 0 到 -1 之间变化,是一个变量
  • Phantom,物态方程的参数 \(\omega\) 可以小于 -1,是一个变量
  • Quintom,物态方程的参数 \(\omega\) 可以等于 -1
  • 修改引力模型?

知乎的回答:

Clifford代数

和Clifford代数联系紧密的是四元数 [公式] ,它是 [公式] 上的4维线性空间,在四元数的乘法下成为代数。取一组基 [公式] ,那么四元数的乘法按 [公式] 定义。四元数和 [公式] 群有紧密联系。通常,由Pauli矩阵 [公式] , [公式] 和 [公式] ,可以取 [公式] 为Lie代数 [公式] 的一组基。从而 [公式] 中的元素都可以写成 [公式] ,其中 [公式] , [公式] , [公式] 且 [公式] 。易验证 [公式] 是单位阵。应用指数映射, [公式] 的单参数子群为 [公式] ,由于矩阵Lie群可以展开为Taylor级数,所以有 [公式] ,从而 [公式] 的矩阵均形如 [公式] ,其中 [公式] , [公式] 。易看出 [公式] ,所以实际上这四个参数构成了球面 [公式] ,即 [公式] 。四元数有忠实表示 [公式] 。令 [公式] ,[公式] ,那么四元数 [公式] 表示为 [公式] 。

令 [公式] 是代数,不妨将其上的二元运算看成乘法。称子代数 [公式] 是左理想,若 [公式] 和 [公式] 使得 [公式] 。若是右理想,则 [公式] 。若同时是左理想和右理想,则称它是双边理想。显然,交换环上定义的交换代数本身就是交换环,所以在给定双边理想后,可以按环论中的做法,引入商环。给定交换环上的环 [公式] 和其双边理想 [公式] ,定义等价关系 [公式] 若 [公式] 。这样可以直接记等价类为 [公式] 。所有等价类的集合再次构成环,其加法按 [公式] 定义,乘法按 [公式] 定义。称这个环是商环,记作 [公式] 。若 [公式] 是代数,那么是交换环,并且商环 [公式] 也是交换环,进而是代数。称代数 [公式] 是因子代数。我们要指出,外代数实际上就是张量代数的因子代数。对于有限维线性空间 [公式] ,令 [公式] 是只有下标的张量代数, [公式] 是所有形如 [公式] 的和构成的双边理想,其中 [公式] , [公式] 。容易验证 [公式] 是双边理想,并且 [公式] 。为了说明这一点,注意到商环的定义,它实际上是让理想消灭了,那么我们理应让对称形式消灭,只留下交错形式。据定义,取 [公式] ,那么 [公式] ,从而 [公式] 。对于 [公式] ,有 [公式] ,若其中两个分量相同,则 [公式] ,这就表明确实只剩下了交错形式。注意到,虽然代数 [公式] 和理想 [公式] 都是无穷维的,但因子代数却是有限维的。

 

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(238) An Epic Journey to a Black Hole to Give You Goosebumps – YouTube




A black hole is a mysterious place where the laws of physics people are familiar with stop working. Black holes appear when massive stars collapse under their own weight. The gravitational field of the newly formed object is so powerful that even light, including X-rays, can’t escape it. Every black hole has an invisible line-in-the-sand. Cross it – and you won’t be able to escape, even if you’re a beam of light. Beyond the point of no return, the gravity is just too strong. It’s called the event horizon.

There’s a black hole about 1,000 light-years away from the Earth. That’s almost 6 thousand, million, million miles. On the scale of the Universe, it’s right next door. More than four times the mass of our Sun, this medium-sized monster is surrounded by streams of gas. There are two stars nearby. Scientists think this newly discovered black hole might be the nearest to Earth. It’s also the only system with a black hole visible to the unaided eye. Good news – you’re going to visit it right now!

TIMESTAMPS:

  • Nearest black hole to Earth 0:01
  • International Space Station 0:53 🛰
  • The Moon 1:20 🌙
  • Mars 1:36
  • Jupiter 2:02
  • Saturn 2:17
  • The Kuiper Belt 2:43
  • The Oort Cloud 3:14
  • ⚫ You reach your destination! ⚫ 3:50
  • How to see the back of your head 5:01
  • What’s behind the event horizon ❓6:24
  • What happens after spaghettification 🥡 7:16