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课程来源

这是由蔻享发布的《高等量子力学》课程,共34个视频

课程链接: 孙昌璞(中国科学院院士、第三世界科学院院士):高等量子力学

孙昌璞教授简介

loading中国科学院院士、第三世界科学院院士、中物院研究生院院长。研究领域:量子物理、量子信息、数学物理、复杂系统的统计物理。 研究方向:量子测量、黑洞的信息丢失、量子热力学与非平衡量子开系统、生命系统的量子效应、量子传感和可靠性理论等。 国家自然科学二等奖(2008),美国ISI经典引文奖(2000),中国科学院青年科学家一等奖(1998),全国先进工作者(1995),中国科学院优秀导师(10次)。 培养的研究生2人获全国“百篇优秀博士学位论文”;8人获“中国科学院优秀博士论文”;1人获中国科学院院长特别奖。

孙昌璞的个人主页:The Sun Group (csrc.ac.cn)

研究领域分类:

量子物理的基本概念及相关研究 量子物理应用
1. 量子的概念 量子信息 原子 物质波 宏观量子态 1. 玻色-爱因斯坦凝聚
2. 经典与量子边界上的薛定谔猫 2. 量子绝热近似理论与Berry相因子
3. 量子力学测量问题与量子信息 3. 微腔量子电动力学的基本概念
4. 量子理论创建的科学启示 4. 宏观物体的退相干与量子宇宙的经典约化
5. 量子测量问题的研究及应用 5. 从参数“浸渐”的量子演化到热力学的绝热过程
6. 量子测量问题与量子力学诠释 6. 宏观人工原子相关的量子相干操纵
7. 量子力学若干基本问题研究的新进展 (I) (II) 7. 基于量子系综的准自旋波激发的量子存贮研究
8. 量子退相干问题 8. 量子态操纵的若干基础物理问题
9. 薜定愕猫与量子测量—兼谈量子信息的发展 9. 量子信息启发的固体系统量子态操纵的基本问题
10. 量子开系统理论及其应用 10. 量子信息启发的量子态操纵
11. 量子力学诠释问题 11. 信息处理的物理极限与量子热力学

四元数的可视化(来自bilibili

How to think about this 4d number system in our 3d space.

Brought to you by you: http://3b1b.co/quaternion-thanks

Part 2: https://youtu.be/zjMuIxRvygQ

Interactive version of these visuals: http://3imaginary1real.com

Quanta article on quaternions: https://www.quantamagazine.org/the-st…

The math of Alice in Wonderland: https://www.newscientist.com/article/…


作者:Yang Eninala
链接:http://www.zhihu.com/question/23005815/answer/33971127
来源:知乎
著作权归作者所有,转载请联系作者获得授权。

根据我的理解,大多数人用汉密尔顿四元数就只是做三维空间的旋转变换(我反正没见过其他用法)。那么你不用学群论,甚至不用复习线性代数,看我下面的几张图就可以了。

首先,定义一个你需要做的旋转。旋转轴为向量v=(vx,vy,vz),旋转角度为\theta (右手法则的旋转)。如下图所示:
此图中v=(\frac{1}{\sqrt{14} } ,\frac{2}{\sqrt{14} } ,\frac{3}{\sqrt{14} }),\theta =\frac{\pi }{3}

那么与此相对应的四元数(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式)
q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q=(cos(\frac{\pi }{6} ),sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q=cos(\frac{\pi }{6} )+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i +sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k

这时它的共轭(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式),
q^{-1} =(cos(\frac{\theta }{2} ),-sin(\frac{\theta }{2} )*vx,-sin(\frac{\theta }{2} )*vy,-sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q^{-1} =(cos(\frac{\pi }{6} ),-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q^{-1} =cos(\frac{\pi }{6} )-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i -sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k

如果你想算一个点w=(wx,wy,wz)在这个旋转下新的坐标w^{'} ,需要进行如下操作,
1.定义纯四元数
qw=(0,wx,wy,wz)=0+wx*i+wy*j+wz*k
2.进行四元数运算
qw^{'} =q*qw*q^{-1}
3.产生的qw^{'} 一定是纯四元数,也就是说它的第一项为0,有如下形式:
qw^{'} =(0,wx^{'},wy^{'},wz^{'})=0+wx^{'}*i+wy^{'}*j+wz^{'}*k
4.qw^{'}中的后三项(wx^{'},wy^{'},wz^{'})就是w^{'}
w^{'} =(wx^{'},wy^{'},wz^{'})
这样,就完成了一次四元数旋转运算。

同理,如果你有一个四元数:
q=(q1,q2,q3,q4)=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
那么,它对应一个以向量v=(vx,vy,vz)为轴旋转\theta 角度的旋转操作(右手法则的旋转)。

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如果你想对四元数有着更深入的了解,请往下看。

四元数由汉密尔顿发明,这一发明起源于十九世纪的某一天。在这一天早上,汉密尔顿下楼吃早饭。这时他的儿子问他,“爸爸,我们能够对三元数组(triplet,可以理解为三维向量)做乘法运算么?”汉密尔顿说“不行,我只能加减它们。”

这时来自21世纪的旁白旁先生说,“大家快来看十九世纪的数学家有多二,连内积和外积都不是知道。”

十九世纪的汉密尔顿也许确实不知道内积和外积,但是他知道,他想要的三维向量乘法要比内积和外积运算“高大上”很多。这一乘法运算要满足下列四条性质:
1.运算产生的结果也要是三维向量
2.存在一个元运算,任何三维向量进行元运算的结果就是其本身
3.对于任何一个运算,都存在一个逆运算,这两个运算的积是元运算
4.运算满足结合律

换而言之,汉密尔顿想定义的不是一个简单的映射关系,而是一个群!(后来我们知道四元数所在群为S3,而四元数所代表的三维旋转是SO(3),前者是后者的两倍覆盖)内积连性质1都不满足,外积不满足性质3。

汉密尔顿先生就这么被自己儿子提出的问题难倒了。经历了无数个日日夜夜,他绞尽脑汁也没想明白这个问题。终于有一天(1843年的一天),汉密尔顿先生终于意识到了,自己所需要的运算在三维空间中是不可能实现的,但在四维空间中是可以的,他是如此的兴奋,以至于把四元数的公式刻在了爱尔兰的一座桥上。

旁白:“WTF,我让你讲三维物体的旋转,你给我扯到四维空间上去。”

(不加说明,以下所说四元数全为单位四元数)
其实,四元数有四个变量,完全可以被看作一个四维向量。单位四元数(norm=1)则存在于四维空间的一个球面上。q_{a}q_{b},四元数q_{a}乘以四元数q_{b}其实看作(1)对q_{a}进行q_{b}左旋转,或者(2)对q_{b}进行q_{a}右旋转。所以从始至终,四元数定义的都是四维旋转,而不是三维旋转!任意的四维旋转都可以唯一的拆分为一个左旋转和一个右旋转,表达出来就是q_{_{L}}pq_{_{R}}。这里,我们对四元数(四维向量)p进行了一个q_{_{L}}左旋转和一个q_{_{R}}右旋转。结果当然是一个四元数,符合性质1。这个运算也同时符合性质2,3,4。

好了,说完了四维旋转,我们终于可以说说三维旋转了。说白了,三维旋转就是四维旋转的一个特例,就像二维旋转是三维旋转的一个特例一样。说是特例其实不准确,准确的说是一个子集或者subgroup。为了进行三维旋转运算,汉密尔顿首先在四维空间里划出了一块三维空间。汉密尔顿定义了一种纯四元数(pure quaternion),其表达式为qw=(0,wx,wy,wz)。纯四元数第一项为零,它存在于四维空间的三维超平面上,与三维空间中的三维向量一一对应。然后,就有了我们常见的q*qw*q^{-1} 这种左乘单位四元数,右乘其共轭的表达式。我真心不知道汉密尔顿是怎么想出来的,不过回过头来看,这个运算形式是为了限制其运算结果所在的空间。简单的说,当对一个三维向量进行三维旋转后,我们希望得到的是一个三维向量。(如果你真能得到一个四维向量,就不敢自己在家转圈圈了吧,转着转着,就进入四次元了!)那么这个左乘单位四元数,右乘其共轭的运算保证了结果是一个在三维超平面上中的纯四元数。

把左乘和右乘表达为矩阵形式会让我们看的更清楚一些。依照qw的定义,q*qw*q^{-1} 的矩阵形式为
\left[ \begin{array}{ c c c c} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & q_{1}^2+q_{2}^2-q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{2}q_{3}-2q_{1}q_{4} & 2q_{2}q_{4}+2q_{1}q_{3} \\ 0& 2q_{2}q_{3}+2q_{1}q_{4} & q_{1}^2-q_{2}^2+q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{3}q_{4}-2q_{1}q_{2} \\ 0 & 2q_{2}q_{4}-2q_{1}q_{3} & 2q_{3}q_{4}+2q_{1}q_{2} & q_{1}^2-q_{2}^2-q_{3}^2+q_{4}^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ c } 0\\ wx\\ wy\\ wz \end{array} \right]
很明显,前面的矩阵虽然是一个4×4的四维旋转矩阵,但是它只是在右下角3×3的区域内和一个单位矩阵有所不同。所以说,它是一个限制在三维超平面上的四维旋转。如果表达式右边不是共轭,而是任意四元数,那么我们所作的就是一个很普通的四维旋转。如果只是左乘一个单位四元数,右边什么都不乘,那么我们得到的是四维旋转的一个子集,这个子集并不能保证结果限制在三维超平面上。如果只右乘,不左乘也是一样一样的。

说了这么多,对于坚持到最后的你,上图一幅,以表感谢。

其实这张图解释了一个长久的疑问。为什么四元数q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)里用的是\frac{\theta }{2} 而不是\theta。这是因为q做的就是一个\frac{\theta }{2} 的旋转,而q^{-1}也做了一个\frac{\theta }{2} 的旋转。我们进行了两次旋转,而不是一次,这两次旋转的结果是一个旋转角为\theta的旋转。

分类: OpenGL





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本文讲解如何在 Word 2016 版本中插入和制作目录。视频分为两部分,第一部分为基础教程,教大家快速插入目录。第二部分为进阶教程,教大家修改章节格式和目录格式。

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