知乎的回答:

Clifford代数

和Clifford代数联系紧密的是四元数 [公式] ,它是 [公式] 上的4维线性空间,在四元数的乘法下成为代数。取一组基 [公式] ,那么四元数的乘法按 [公式] 定义。四元数和 [公式] 群有紧密联系。通常,由Pauli矩阵 [公式] , [公式] 和 [公式] ,可以取 [公式] 为Lie代数 [公式] 的一组基。从而 [公式] 中的元素都可以写成 [公式] ,其中 [公式] , [公式] , [公式] 且 [公式] 。易验证 [公式] 是单位阵。应用指数映射, [公式] 的单参数子群为 [公式] ,由于矩阵Lie群可以展开为Taylor级数,所以有 [公式] ,从而 [公式] 的矩阵均形如 [公式] ,其中 [公式] , [公式] 。易看出 [公式] ,所以实际上这四个参数构成了球面 [公式] ,即 [公式] 。四元数有忠实表示 [公式] 。令 [公式] ,[公式] ,那么四元数 [公式] 表示为 [公式] 。

令 [公式] 是代数,不妨将其上的二元运算看成乘法。称子代数 [公式] 是左理想,若 [公式] 和 [公式] 使得 [公式] 。若是右理想,则 [公式] 。若同时是左理想和右理想,则称它是双边理想。显然,交换环上定义的交换代数本身就是交换环,所以在给定双边理想后,可以按环论中的做法,引入商环。给定交换环上的环 [公式] 和其双边理想 [公式] ,定义等价关系 [公式] 若 [公式] 。这样可以直接记等价类为 [公式] 。所有等价类的集合再次构成环,其加法按 [公式] 定义,乘法按 [公式] 定义。称这个环是商环,记作 [公式] 。若 [公式] 是代数,那么是交换环,并且商环 [公式] 也是交换环,进而是代数。称代数 [公式] 是因子代数。我们要指出,外代数实际上就是张量代数的因子代数。对于有限维线性空间 [公式] ,令 [公式] 是只有下标的张量代数, [公式] 是所有形如 [公式] 的和构成的双边理想,其中 [公式] , [公式] 。容易验证 [公式] 是双边理想,并且 [公式] 。为了说明这一点,注意到商环的定义,它实际上是让理想消灭了,那么我们理应让对称形式消灭,只留下交错形式。据定义,取 [公式] ,那么 [公式] ,从而 [公式] 。对于 [公式] ,有 [公式] ,若其中两个分量相同,则 [公式] ,这就表明确实只剩下了交错形式。注意到,虽然代数 [公式] 和理想 [公式] 都是无穷维的,但因子代数却是有限维的。

 

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Wolfram 语言提供了最先进的全自动向量函数和数据的可视化,用来表示流量、场线和其它任意复杂的矢量场.

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YouTube频道:Physics Videos by Eugene Khutoryansky

链接:https://www.youtube.com/user/EugeneKhutoryansky

B站搬运播主:Laplaceの拌饭酱

链接:https://space.bilibili.com/186942927

虽然是外国人做的,但是各国的字幕都很完善。视频举例如下:

由于最近的工作需要,重新翻看了这部分内容,为了以后便于查阅,贴在此处。

全部内容来自于梁昆淼著的第四版《数学物理方法》,108-122页。

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数学物理方法摘录(梁昆淼著)-7.1-数学物理方程的导出

把两个函数:

\[y_1=x^2+\sin{x}+\sin{x^2}+\sin{x^3}+\sin{x^4}\]

\[y_2=-x^2-\sin{x}-\sin{x^2}-\sin{x^3}-\sin{x^4}\]

画在一张图上,没想到还挺像X染色体。难道染色体的形状还真有数学表达式?

当然,我随便画的函数,上下都是对称的,染色体当然不长这样,但可以将两个函数弄得不一样,得到比较像的样子。

比如:

\[y_1’=x^2+\sin{x}+\sin{x^2}+\sin{x^3}+\cos{x^4}\]

\[y_2’=-x^2-\sin{x}-\sin{x^2}-\cos{x^3}-\sin{x^4}\]

得到下图:

这里就抛砖引玉吧(如果有玉的话)。

What are the Deep Laws of Nature?

What’s fundamental? What’s bedrock reality? What are the deep regularities, things that work the same—always, everywhere—across the universe? Are these regularities “laws”?  Where do they come from?

视频简介:(原地址:https://www.youtube.com/watch?v=HsMUbZDNlik




话题大致有以下分类:

受采访的对象包括但不限于威腾、温伯格、索恩等物理大师。

以上的这些主题都归属于来自于 Deep Laws of Nature,而 Deep Laws of Nature 归属于 Closer to Truth.

Closer to Truth 包括以下主题:COSMOSCONSCIOUSNESSMEANING

都值得好好看看。

它的所有视频都做了播放列表,在它的YouTube频道里。观看地址为:https://www.youtube.com/user/CloserToTruth1

 

四元数的可视化(来自bilibili

How to think about this 4d number system in our 3d space.

Brought to you by you: http://3b1b.co/quaternion-thanks

Part 2: https://youtu.be/zjMuIxRvygQ

Interactive version of these visuals: http://3imaginary1real.com

Quanta article on quaternions: https://www.quantamagazine.org/the-st…

The math of Alice in Wonderland: https://www.newscientist.com/article/…


作者:Yang Eninala
链接:http://www.zhihu.com/question/23005815/answer/33971127
来源:知乎
著作权归作者所有,转载请联系作者获得授权。

根据我的理解,大多数人用汉密尔顿四元数就只是做三维空间的旋转变换(我反正没见过其他用法)。那么你不用学群论,甚至不用复习线性代数,看我下面的几张图就可以了。

首先,定义一个你需要做的旋转。旋转轴为向量v=(vx,vy,vz),旋转角度为\theta (右手法则的旋转)。如下图所示:
此图中v=(\frac{1}{\sqrt{14} } ,\frac{2}{\sqrt{14} } ,\frac{3}{\sqrt{14} }),\theta =\frac{\pi }{3}

那么与此相对应的四元数(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式)
q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q=(cos(\frac{\pi }{6} ),sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q=cos(\frac{\pi }{6} )+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i +sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k

这时它的共轭(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式),
q^{-1} =(cos(\frac{\theta }{2} ),-sin(\frac{\theta }{2} )*vx,-sin(\frac{\theta }{2} )*vy,-sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q^{-1} =(cos(\frac{\pi }{6} ),-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q^{-1} =cos(\frac{\pi }{6} )-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i -sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k

如果你想算一个点w=(wx,wy,wz)在这个旋转下新的坐标w^{'} ,需要进行如下操作,
1.定义纯四元数
qw=(0,wx,wy,wz)=0+wx*i+wy*j+wz*k
2.进行四元数运算
qw^{'} =q*qw*q^{-1}
3.产生的qw^{'} 一定是纯四元数,也就是说它的第一项为0,有如下形式:
qw^{'} =(0,wx^{'},wy^{'},wz^{'})=0+wx^{'}*i+wy^{'}*j+wz^{'}*k
4.qw^{'}中的后三项(wx^{'},wy^{'},wz^{'})就是w^{'}
w^{'} =(wx^{'},wy^{'},wz^{'})
这样,就完成了一次四元数旋转运算。

同理,如果你有一个四元数:
q=(q1,q2,q3,q4)=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
那么,它对应一个以向量v=(vx,vy,vz)为轴旋转\theta 角度的旋转操作(右手法则的旋转)。

***********************************************************************************************************
如果你想对四元数有着更深入的了解,请往下看。

四元数由汉密尔顿发明,这一发明起源于十九世纪的某一天。在这一天早上,汉密尔顿下楼吃早饭。这时他的儿子问他,“爸爸,我们能够对三元数组(triplet,可以理解为三维向量)做乘法运算么?”汉密尔顿说“不行,我只能加减它们。”

这时来自21世纪的旁白旁先生说,“大家快来看十九世纪的数学家有多二,连内积和外积都不是知道。”

十九世纪的汉密尔顿也许确实不知道内积和外积,但是他知道,他想要的三维向量乘法要比内积和外积运算“高大上”很多。这一乘法运算要满足下列四条性质:
1.运算产生的结果也要是三维向量
2.存在一个元运算,任何三维向量进行元运算的结果就是其本身
3.对于任何一个运算,都存在一个逆运算,这两个运算的积是元运算
4.运算满足结合律

换而言之,汉密尔顿想定义的不是一个简单的映射关系,而是一个群!(后来我们知道四元数所在群为S3,而四元数所代表的三维旋转是SO(3),前者是后者的两倍覆盖)内积连性质1都不满足,外积不满足性质3。

汉密尔顿先生就这么被自己儿子提出的问题难倒了。经历了无数个日日夜夜,他绞尽脑汁也没想明白这个问题。终于有一天(1843年的一天),汉密尔顿先生终于意识到了,自己所需要的运算在三维空间中是不可能实现的,但在四维空间中是可以的,他是如此的兴奋,以至于把四元数的公式刻在了爱尔兰的一座桥上。

旁白:“WTF,我让你讲三维物体的旋转,你给我扯到四维空间上去。”

(不加说明,以下所说四元数全为单位四元数)
其实,四元数有四个变量,完全可以被看作一个四维向量。单位四元数(norm=1)则存在于四维空间的一个球面上。q_{a}q_{b},四元数q_{a}乘以四元数q_{b}其实看作(1)对q_{a}进行q_{b}左旋转,或者(2)对q_{b}进行q_{a}右旋转。所以从始至终,四元数定义的都是四维旋转,而不是三维旋转!任意的四维旋转都可以唯一的拆分为一个左旋转和一个右旋转,表达出来就是q_{_{L}}pq_{_{R}}。这里,我们对四元数(四维向量)p进行了一个q_{_{L}}左旋转和一个q_{_{R}}右旋转。结果当然是一个四元数,符合性质1。这个运算也同时符合性质2,3,4。

好了,说完了四维旋转,我们终于可以说说三维旋转了。说白了,三维旋转就是四维旋转的一个特例,就像二维旋转是三维旋转的一个特例一样。说是特例其实不准确,准确的说是一个子集或者subgroup。为了进行三维旋转运算,汉密尔顿首先在四维空间里划出了一块三维空间。汉密尔顿定义了一种纯四元数(pure quaternion),其表达式为qw=(0,wx,wy,wz)。纯四元数第一项为零,它存在于四维空间的三维超平面上,与三维空间中的三维向量一一对应。然后,就有了我们常见的q*qw*q^{-1} 这种左乘单位四元数,右乘其共轭的表达式。我真心不知道汉密尔顿是怎么想出来的,不过回过头来看,这个运算形式是为了限制其运算结果所在的空间。简单的说,当对一个三维向量进行三维旋转后,我们希望得到的是一个三维向量。(如果你真能得到一个四维向量,就不敢自己在家转圈圈了吧,转着转着,就进入四次元了!)那么这个左乘单位四元数,右乘其共轭的运算保证了结果是一个在三维超平面上中的纯四元数。

把左乘和右乘表达为矩阵形式会让我们看的更清楚一些。依照qw的定义,q*qw*q^{-1} 的矩阵形式为
\left[ \begin{array}{ c c c c} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & q_{1}^2+q_{2}^2-q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{2}q_{3}-2q_{1}q_{4} & 2q_{2}q_{4}+2q_{1}q_{3} \\ 0& 2q_{2}q_{3}+2q_{1}q_{4} & q_{1}^2-q_{2}^2+q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{3}q_{4}-2q_{1}q_{2} \\ 0 & 2q_{2}q_{4}-2q_{1}q_{3} & 2q_{3}q_{4}+2q_{1}q_{2} & q_{1}^2-q_{2}^2-q_{3}^2+q_{4}^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ c } 0\\ wx\\ wy\\ wz \end{array} \right]
很明显,前面的矩阵虽然是一个4×4的四维旋转矩阵,但是它只是在右下角3×3的区域内和一个单位矩阵有所不同。所以说,它是一个限制在三维超平面上的四维旋转。如果表达式右边不是共轭,而是任意四元数,那么我们所作的就是一个很普通的四维旋转。如果只是左乘一个单位四元数,右边什么都不乘,那么我们得到的是四维旋转的一个子集,这个子集并不能保证结果限制在三维超平面上。如果只右乘,不左乘也是一样一样的。

说了这么多,对于坚持到最后的你,上图一幅,以表感谢。

其实这张图解释了一个长久的疑问。为什么四元数q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)里用的是\frac{\theta }{2} 而不是\theta。这是因为q做的就是一个\frac{\theta }{2} 的旋转,而q^{-1}也做了一个\frac{\theta }{2} 的旋转。我们进行了两次旋转,而不是一次,这两次旋转的结果是一个旋转角为\theta的旋转。

分类: OpenGL