物理学+数学:旋量简介
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Clifford代数
和Clifford代数联系紧密的是四元数
,它是
上的4维线性空间,在四元数的乘法下成为代数。取一组基
,那么四元数的乘法按
定义。四元数和
群有紧密联系。通常,由Pauli矩阵
,
和
,可以取
为Lie代数
的一组基。从而
中的元素都可以写成
,其中
,
,
且
。易验证
是单位阵。应用指数映射,
的单参数子群为
,由于矩阵Lie群可以展开为Taylor级数,所以有
,从而
的矩阵均形如
,其中
,
。易看出
,所以实际上这四个参数构成了球面
,即
。四元数有忠实表示
。令
,
,那么四元数
表示为
。
令
是代数,不妨将其上的二元运算看成乘法。称子代数
是左理想,若
和
使得
。若是右理想,则
。若同时是左理想和右理想,则称它是双边理想。显然,交换环上定义的交换代数本身就是交换环,所以在给定双边理想后,可以按环论中的做法,引入商环。给定交换环上的环
和其双边理想
,定义等价关系
若
。这样可以直接记等价类为
。所有等价类的集合再次构成环,其加法按
定义,乘法按
定义。称这个环是商环,记作
。若
是代数,那么是交换环,并且商环
也是交换环,进而是代数。称代数
是因子代数。我们要指出,外代数实际上就是张量代数的因子代数。对于有限维线性空间
,令
是只有下标的张量代数,
是所有形如
的和构成的双边理想,其中
,
。容易验证
是双边理想,并且
。为了说明这一点,注意到商环的定义,它实际上是让理想消灭了,那么我们理应让对称形式消灭,只留下交错形式。据定义,取
,那么
,从而
。对于
,有
,若其中两个分量相同,则
,这就表明确实只剩下了交错形式。注意到,虽然代数
和理想
都是无穷维的,但因子代数却是有限维的。