数学：辛结构/辛流形

由： taho

上： 2021年4月1日

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辛流形 – 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)

辛流形_百度百科 (baidu.com)

数学上，一个辛流形是一个装备了一个闭、非退化2-形式ω的光滑流形，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学的抽象表述中的流形的余切丛自然的出现，例如在经典力学的哈密顿表述中，该领域的一个主要原因之一：一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模，而该流形的余切丛描述了该系统的相空间。

一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理，哈密顿流保持相空间的体积形式不变。

具有某种特殊结构的微分流形，这种结构称为辛结构。设M为一微分流形,又在M上具有一个二次非退化的闭外微分形式σ,则称σ是M上的一个辛结构，又称M为具辛结构σ的辛流形。微分流形的辛结构联系于向量空间的辛结构。设V是m维向量空间,在V上定义了一个反对称、非退化的双线性形式σ，即σ满足：①反对称性，σ(α,β)=-σ(β,α)，对任意α,β∈V成立；②非退化,若对任意β∈V，有σ(α,β)=0，必有α=0,则称σ为向量空间V上的一个辛结构,又称V 为具辛结构σ的辛向量空间。对于具辛结构σ的微分流形M,在每一点x∈M，将σ(x)视为TxM上的双线性形式，即得出向量空间TxM上的辛结构。具辛结构的向量空间 V或具辛结构的微分流形M都必须是偶数维的。

辛流形总是自带一个辛结构ω，其外积构成辛流形的辛形式，它是处处非零的。一般而言，辛流形的辛形式只是光滑的，只能保证辛流形的可定向的，必须要全纯辛形式才一定保证能够有复定向，这样的辛流形被称为全纯辛流形。全纯辛流形是否一定存在呢？答案是肯定的，在Berger的分类中，完整群为Sp（m）的hyperkahler manifold就是全纯辛流形，因此一定是复可定向的。

对于全纯辛流形而言，就连复定向也变成平庸的了，似乎还要考虑更高层次的辛定向，定义为存在处处非零的辛体积形式，使得四元数射影空间具有与复射影空间或实射影空间类似的定向。

讲座+数学+物理学：几个丘成桐演讲

由： taho

上： 2021年3月20日

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《开讲啦》 20160917 丘成桐：你为什么学不好数学？

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YouTube：专访世界顶尖数学家哈佛大学终身教授丘成桐（名人面对面HD200913）

电脑技术：来自B站的 Manim 教程合集

由： taho

上： 2021年3月16日

在： Python, 人机交互, 创客, 动画, 数学, 物理学, 电脑技术, 编程, 计算物理

标签：人机交互, 可视化, 数学, 物理学, 电脑技术, 艺术

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Manim教程合集

B站的这些视频来自YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=ENMyFGmq5OA。“想知道3Blue1Brown大佬的数学视频是如何制作出来的么？这里是一套Manim的教程合集，完结撒花！”

物理学+数学：旋量简介

由： taho

上： 2021年1月2日

在：数学, 物理学

标签：数学, 物理学

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知乎的回答：

Clifford代数

和Clifford代数联系紧密的是四元数 $\mathbb{H}$ ，它是 $\mathbb{R}$ 上的4维线性空间，在四元数的乘法下成为代数。取一组基 $\{1=e_0,e_1,e_2,e_3\}$ ，那么四元数的乘法按 $e_ie_j=-\delta_{ij}+\varepsilon_{ijk}e_k$ 定义。四元数和 $\mathrm{SU}(2)$ 群有紧密联系。通常，由Pauli矩阵 $\sigma_1=\left(\begin{matrix} 0&1\\1&0 \end{matrix}\right)$ ， $\sigma_2=\left(\begin{matrix} 0&-\mathrm{i}\\\mathrm{i}&0 \end{matrix}\right)$ 和 $\sigma_3=\left(\begin{matrix} 1&0\\0&-1 \end{matrix}\right)$ ，可以取 $e_i=-\frac{\mathrm{i}}{2}\sigma_i$ 为Lie代数 $\mathfrak{su}(2)$ 的一组基。从而 $\mathfrak{su}(2)$ 中的元素都可以写成 $-\frac{\mathrm{i}}{2}\alpha \bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ ，其中 $\alpha\in\mathbb{R}$ ， $\bm{n}\cdot\bm{\sigma}=\sum_{i=1}^3 n_i\sigma_i$ ， $\bm{n}\in\mathbb{R}^3$ 且 $|\bm{n}|=1$ 。易验证 $(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=\mathrm{diag}(1,1)=I_2$ 是单位阵。应用指数映射， $\mathrm{SU}(2)$ 的单参数子群为 $A(t)=e^{-\frac{\mathrm{i}}{2}t\alpha \bm{n}\cdot\bm{\sigma}}$ ，由于矩阵Lie群可以展开为Taylor级数，所以有 $A(t)=I_2\cos \frac{t\alpha}{2}-\mathrm{i}(\bm{n}\cdot\bm\sigma)\sin \frac{t\alpha}{2}$ ，从而 $\mathrm{SU}(2)$ 的矩阵均形如 $a_0I_2+\mathrm{i}(\bm{a}\cdot\bm\sigma)$ ，其中 $a_0=\cos \frac{t\alpha}{2}$ ， $\bm a=-\bm n\sin \frac{t\alpha}{2}$ 。易看出 $a_0^2+\bm a\cdot\bm a=\sum_{i=0}^3a_i^2=1$ ，所以实际上这四个参数构成了球面 $\mathbb{S}^3$ ，即 $\mathrm{SU}(2)\simeq\mathbb{S}^3$ 。四元数有忠实表示 $\rho:\mathbb{H}\to\mathrm{SU}(2)$ 。令 $\rho(e_i)=-\frac{1}{2}\mathrm{i}\sigma_i$ ， $\rho(e_0)=I_2$ ，那么四元数 $u=u_0+\sum_{i=1}^3u_ie_i$ 表示为 $\rho(u)=\left(\begin{matrix} u_0-\mathrm {i}u_3&-u_2-\mathrm {i}u_1\\u_2-\mathrm {i}u_1&u_0+\mathrm {i}u_3\end{matrix}\right)$ 。

令 $A$ 是代数，不妨将其上的二元运算看成乘法。称子代数 $I$ 是左理想，若 $\forall a\in A$ 和 $\forall i\in I$ 使得 $ia\in I$ 。若是右理想，则 $ai\in I$ 。若同时是左理想和右理想，则称它是双边理想。显然，交换环上定义的交换代数本身就是交换环，所以在给定双边理想后，可以按环论中的做法，引入商环。给定交换环上的环 $A$ 和其双边理想 $I$ ，定义等价关系 $a\sim b$ 若 $a-b\in I$ 。这样可以直接记等价类为 $[a]=a+I=\{a+i|i\in I\}$ 。所有等价类的集合再次构成环，其加法按 $[a]+[b]=[a+b]$ 定义，乘法按 $[a][b]=[ab]$ 定义。称这个环是商环，记作 $A/I$ 。若 $A$ 是代数，那么是交换环，并且商环 $A/I$ 也是交换环，进而是代数。称代数 $A/I$ 是因子代数。我们要指出，外代数实际上就是张量代数的因子代数。对于有限维线性空间 $V$ ，令 $T^0(V):=\bigoplus_{l=0}^\infty T_l(V)$ 是只有下标的张量代数， $I$ 是所有形如 $t_1\otimes(\alpha\otimes\alpha)\otimes t_2$ 的和构成的双边理想，其中 $t_1,t_2\in T(V)$ ， $\alpha\in V^*$ 。容易验证 $I$ 是双边理想，并且 $T^0(V)/I\simeq\Lambda V^*$ 。为了说明这一点，注意到商环的定义，它实际上是让理想消灭了，那么我们理应让对称形式消灭，只留下交错形式。据定义，取 $e^a\in V^*$ ，那么 $e^a\otimes e^a\in I$ ，从而 $0=[e^a\otimes e^a]=[e^a][e^a]$ 。对于 $\alpha=\alpha_{i_1\cdots i_k}e^{i_1}\otimes\cdots \otimes e^{i_k}$ ，有 $[\alpha]=\alpha_{i_1\cdots i_k}[e^{i_1}]\cdots [e^{i_k}]$ ，若其中两个分量相同，则 $[\alpha]=0$ ，这就表明确实只剩下了交错形式。注意到，虽然代数 $T^0(V)$ 和理想 $I$ 都是无穷维的，但因子代数却是有限维的。