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知乎的回答：

Clifford代数

和Clifford代数联系紧密的是四元数 [公式] ，它是 [公式] 上的4维线性空间，在四元数的乘法下成为代数。取一组基 [公式] ，那么四元数的乘法按 [公式] 定义。四元数和 [公式] 群有紧密联系。通常，由Pauli矩阵 [公式] ， [公式] 和 [公式] ，可以取 [公式] 为Lie代数 [公式] 的一组基。从而 [公式] 中的元素都可以写成 [公式] ，其中 [公式] ， [公式] ， [公式] 且 [公式] 。易验证 [公式] 是单位阵。应用指数映射， [公式] 的单参数子群为 [公式] ，由于矩阵Lie群可以展开为Taylor级数，所以有 [公式] ，从而 [公式] 的矩阵均形如 [公式] ，其中 [公式] ， [公式] 。易看出 [公式] ，所以实际上这四个参数构成了球面 [公式] ，即 [公式] 。四元数有忠实表示 [公式] 。令 [公式] ，[公式] ，那么四元数 [公式] 表示为 [公式] 。

令 [公式] 是代数，不妨将其上的二元运算看成乘法。称子代数 [公式] 是左理想，若 [公式] 和 [公式] 使得 [公式] 。若是右理想，则 [公式] 。若同时是左理想和右理想，则称它是双边理想。显然，交换环上定义的交换代数本身就是交换环，所以在给定双边理想后，可以按环论中的做法，引入商环。给定交换环上的环 [公式] 和其双边理想 [公式] ，定义等价关系 [公式] 若 [公式] 。这样可以直接记等价类为 [公式] 。所有等价类的集合再次构成环，其加法按 [公式] 定义，乘法按 [公式] 定义。称这个环是商环，记作 [公式] 。若 [公式] 是代数，那么是交换环，并且商环 [公式] 也是交换环，进而是代数。称代数 [公式] 是因子代数。我们要指出，外代数实际上就是张量代数的因子代数。对于有限维线性空间 [公式] ，令 [公式] 是只有下标的张量代数， [公式] 是所有形如 [公式] 的和构成的双边理想，其中 [公式] ， [公式] 。容易验证 [公式] 是双边理想，并且 [公式] 。为了说明这一点，注意到商环的定义，它实际上是让理想消灭了，那么我们理应让对称形式消灭，只留下交错形式。据定义，取 [公式] ，那么 [公式] ，从而 [公式] 。对于 [公式] ，有 [公式] ，若其中两个分量相同，则 [公式] ，这就表明确实只剩下了交错形式。注意到，虽然代数 [公式] 和理想 [公式] 都是无穷维的，但因子代数却是有限维的。

 

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来源于：https://reference.wolfram.com/language/guide/VectorVisualization.html

更多参考：https://reference.wolfram.com/language/

向量可视化

Wolfram 语言提供了最先进的全自动向量函数和数据的可视化，用来表示流量、场线和其它任意复杂的矢量场.

流量可视化

StreamPlot, ListStreamPlot — 画出来自矢量场的流量图

LineIntegralConvolutionPlot ▪  ListLineIntegralConvolutionPlot

矢量可视化

VectorPlot, ListVectorPlot — 画出来自矢量场的矢量

向量 + 标量可视化

StreamDensityPlot, ListStreamDensityPlot — 向量场和标量场的叠加图

VectorDensityPlot ▪  ListVectorDensityPlot

3D 向量可视化

VectorPlot3D, ListVectorPlot3D — 根据三维向量场绘制向量

SliceVectorPlot3D, ListSliceVectorPlot3D — 在切片曲面上绘制向量

地理图形可视化 »

GeoVectorPlot ▪  GeoStreamPlot ▪  …

复数可视化 »

ComplexVectorPlot ▪  ComplexStreamPlot ▪  …

选项

StreamPoints, VectorPoints — 流线、向量的数或方位

StreamScale — 流线的尺度和大小

VectorScaling, VectorSizes — 向量的尺度和大小

StreamStyle, VectorStyle — 流线、向量的颜色和样式

StreamMarkers, VectorMarkers — 流线、向量的一般形状

ColorFunction, Mesh, MeshFunctions — 标量的颜色、网格、等高线等

StreamColorFunction ▪  VectorColorFunction ▪  RegionFunction

VectorAspectRatio ▪  VectorRange ▪  ClippingStyle

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YouTube频道：Physics Videos by Eugene Khutoryansky

链接：https://www.youtube.com/user/EugeneKhutoryansky

B站搬运播主：Laplaceの拌饭酱

链接：https://space.bilibili.com/186942927

虽然是外国人做的，但是各国的字幕都很完善。视频举例如下：

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把两个函数：

\[y_1=x^2+\sin{x}+\sin{x^2}+\sin{x^3}+\sin{x^4}\]

和

\[y_2=-x^2-\sin{x}-\sin{x^2}-\sin{x^3}-\sin{x^4}\]

画在一张图上，没想到还挺像X染色体。难道染色体的形状还真有数学表达式？

当然，我随便画的函数，上下都是对称的，染色体当然不长这样，但可以将两个函数弄得不一样，得到比较像的样子。

比如：

\[y_1’=x^2+\sin{x}+\sin{x^2}+\sin{x^3}+\cos{x^4}\]

和

\[y_2’=-x^2-\sin{x}-\sin{x^2}-\cos{x^3}-\sin{x^4}\]

得到下图：

这里就抛砖引玉吧（如果有玉的话）。

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妈咪说

【分形与混沌1】雪花周长无限长？曲线也有面积？希尔伯特曲线与豪斯多夫维数

知识点：拓扑维数，豪斯多夫维数

【分形与混沌2】最有魅力的几何图形——曼德勃罗集与朱利亚集 天使与魔鬼共存

【分形与混沌3】三体问题为何难解？太阳系何时会乱掉？庞加莱打开混沌理论的大门

知识点：守恒量能降低动力系统的自由度。除了能量、动量、角动量守恒外，再无其他守恒。三体问题没有精确解，只有近似解。求近似解的方法叫做“林德斯泰特-庞加莱方法（Lindstedt-Poincare Method）”

【分形与混沌4】天气预报为什么不准？蝴蝶效应与洛伦兹吸引子

知识点：爱德华·洛伦兹，气象学家，提出了洛伦兹吸引子。他不是洛伦兹力里面所说的那个人。洛伦兹吸引子，又名“确定性的非周期流”

洛伦兹方程：

\[\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)\]

\[\frac{dy}{dt}=x(R-z)-y\]

\[\frac{dz}{dt}=xy-\beta z\]

其中，\(\sigma\) 叫普朗特数（Prandtl数），R 叫瑞利数（Rayleigh数），这两个可任取任意正数。\(\beta\)是一个几何因子。

MacOS上的Grapher软件自带洛伦兹吸引子的图像。

分形，是混沌在空间上的描述，或者说是几何描述。

混沌，是分形在时间上的描述。

【分形与混沌5】人口数量算不准？马尔萨斯灾难什么意思？逻辑斯蒂方程中的混沌

 

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以下是维基百科的解释，原地址：https://en.wikipedia.org/wiki/K-function

For the k-function, see Bateman function.

In mathematics, the K-function, typically denoted K(z), is a generalization of the hyperfactorial to complex numbers, similar to the generalization of the factorial to the gamma function.

Formally, the K-function is defined as

It can also be given in closed form as

where ζ'(z) denotes the derivative of the Riemann zeta function, ζ(a,z) denotes the Hurwitz zeta function and

Another expression using polygamma function is[1]

Or using balanced generalization of polygamma function:[2]

where A is Glaisher constant.

The K-function is closely related to the gamma function and the Barnes G-function; for natural numbers n, we have

More prosaically, one may write

The first values are

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, … ((sequence A002109 in the OEIS)).

References[edit]

  1. ^ Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
  2. ^ Olivier Espinosa Victor H. Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115

External links[edit]

Weisstein, Eric W. “K-Function”. MathWorld.

 

以下是Wolfram的解释，内容来自http://mathworld.wolfram.com/K-Function.html

KFunction

KFunctionReIm

KFunctionContours

此处具体内容请查看原文

 

 

 

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